Função trigonométrica

Introdução

A palavra trigonometria é formada por três radicais gregos: tri(três), gono(ângulos)e metron(medida); significando assim "medida dos triângulos". Inicialmente considerada como uma extensão da geometria, a trigonometria já era estudada pelos babilônios, que a utilizavam para resolver problemas práticos de Astronomia, de Navegação e de Agrimensura. Aliás, foram os astrônomos como o grego Hiparco (190 aC – 125 aC), considerado o pai da Astronomia e da Trigonometria, que estabeleceu as primeiras relações entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo. No século VIII com o apoio de trabalhos hindus, matemáticos árabes contribuíram notavelmente para o avanço da trigonometria. Este avanço continuou após a construção da primeira tábua trigonométrica, por um matemático alemão, nascido em Baviera, chamado Purback. Porém o primeiro trabalho matemático sobre trigonometria foi o "tratado dos triângulos", escrito pelo matemático alemão Johann Müller, também chamado Regiomontanus. Sabe-se que Regiomaontanus foi discípulo de Purback. Atualmente a trigonometria não se limita apenas a estudar triângulos. Sua aplicação se estende na outros campos da matemática, como a Análise, e a outros campos da atividade humana como a Eletricidade, a Mecânica, a Acústica, a Música, a Topologia, a Engenharia Civil, etc.
Em matemática, as funções trigonométricas são funções angulares, importantes no estudo dos triângulos e na modelação de fenómenos periódicos. Podem ser definidas como razões entre dois lados de um triângulo retângulo em função de um ângulo, ou, de forma mais geral, como razões de coordenadas de pontos no círculo unitário.

FUNÇÃO SENO

Definição
Chamamos de função seno a função f: R® R que a cada número real x, associa o seno desse número: f: R® R, f(x) = sen x
O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do seno, –1 £ sen x £ 1, ou seja:
Domínio de f(x) = sen x; D(sen x) = R.
Imagem de f(x) = sen x; Im(sen x) = [ -1,1] .
Sinal da Função:
Como seno x é a ordenada do ponto-extremidade do arco:
f(x) = sen x é positiva no 1° e 2° quadrantes (ordenada positiva)
f(x) = sen x é negativa no 3° e 4° quadrantes (ordenada negativa)

FUNÇÃO COSSENO

Definição
Chamamos de função cosseno a função f: R® R que a cada número real x , associa o cosseno desse número: f: R® R, f(x) = cos x.
O domínio dessa função é R e a imagem é Im [ -1,1] ; visto que, na circunferência trigonométrica o raio é unitário e, pela definição do cosseno, –1 £ cos x £ 1, ou seja:
Domínio de f(x) = cos x; D(cos x) = R.
Imagem de f(x) = cos x; Im(cos x) = [ -1,1] .
Sinal da Função:
Como cosseno x é a abscissa do ponto-extremidade do arco:
f(x) = cos x é positiva no 1° e 2° quadrantes (abscissa positiva)
f(x) = cos x é negativa no 3° e 4° quadrantes (abscissa negativa)

FUNÇÃO TANGENTE

Definição
Chamamos de função tangente a função f: E® R que a cada número xÎ E, com E = í xÎ R/ x ¹ ½ p + kp , kÎ Zý associa a tangente desse número: f: E® R, f(x) = tg x.
O domínio dessa função é E e a imagem é R; visto que no 1° e 3° quadrantes, a função tg x varia de 0(zero) até ¥ (infinito) e 2° e 4° quadrantes varia de -¥ (menos infinito) até 0(zero).
Domínio de f(x) = tg x; D(tg x) = E = í xÎ R/ x ¹ ½ p + kp , kÎ Zý .
Imagem de f(x) = tg x; Im(tg x) = R.
Sinal da Função:
Como tangente x é a ordenada do ponto T interseção da reta que passa pelo centro de uma circunferência trigonométrica e o ponto-extremidade do arco, com o eixo das tangentes então:
f(x) = tg x é positiva no 1° e 3° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa positiva)
f(x) = tg x é negativa no 2° e 4° quadrantes (produto da ordenada pela abscissa negativa)

Definição no ciclo trigonométrico

A definição das funções trigonométricas pode ser generalizada para um ângulo real qualquer através do ciclo trigonométrico. O ciclo trigonométrico é um círculo de raio unitário centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Como cada ponto pertencente ao ciclo está a uma distância 1 da origem, o teorema de Pitágoras afirma que: X² + Y² = 1
E, ainda, para cada ângulo θ existe um único ponto P pertencente ao círculo, tal que o segmento OP faz um ângulo θ com o eixo x.
Neste caso, o seno é definido como a projeção do segmento OP sobre o eixo y. O co-seno é definido como a projeção do segmento OP com o eixo x. Isto é: sin θ = y e cos θ = x
A função tangente é definida conforme a relação a seguir: tan θ = sin θ / cos θ.
Deve-se observar que esta definição, quando restrita aos ângulos agudos, concorda com a definição no triângulo retângulo.